
\prob{00C2}{互余角证明}

若对于锐角 $\alpha, \beta$ 有
\[ \cos^2\alpha + \cos^2\beta = \sin(\alpha + \beta) \]
求证：$\alpha + \beta = \pi/2$。
\problabels{yellow/代数, green/证明题}

\emph{JYH 提供的题目。}

\subsection{反证法}

定义
\begin{align*}
  f ={}& \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \sin(\alpha + \beta) \\
  ={}& \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos\alpha\sin\beta - \cos\beta\sin\alpha \\
  ={}& \cos\alpha(\cos\alpha - \sin\beta) + \cos\beta(\cos\beta - \sin\alpha) \\
  ={}& \cos\alpha\left(\sin\left(\frac\pi2 - \alpha\right) - \sin\beta\right) \\
  &+ \cos\beta\left(\sin\left(\frac\pi2 - \beta\right) - \sin\alpha\right)
\end{align*}
由题可知 $0 < \alpha, \beta < \pi/2$，故 $\cos\alpha, \cos\beta > 0$。由于 $\sin x$ 在 $(0, \pi/2)$ 上单调增，故设 $\alpha + \beta > \pi/2$ 得
\[ \left\{ \begin{aligned}
  \frac\pi2 - \alpha &< \beta \\ \frac\pi2 - \beta &< \alpha
\end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
  \sin\left(\frac\pi2 - \alpha\right) - \sin\beta &< 0 \\
  \sin\left(\frac\pi2 - \beta\right) - \sin\alpha &< 0
\end{aligned} \right. \]
故 $f > 0$，不符题目条件 $f = 0$。当 $\alpha + \beta < \pi/2$ 时同理可证。故 $\alpha + \beta = \pi/2$。

证毕。
